Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2.

試題分析：（1）根據兩條直線同垂直于一個平面，這兩條直線平行可得DC//EB，再有直線與平面平行的判定定理得出直線DC∥平面ABE，由于是平面ABE與平面ACD的交線，可得DC∥，又由直線與平面平行的判定定理∥平面BCDE．（2）先證AF⊥平面BCDE，再證FD⊥平面AFE，最后證明平面AFD⊥平面AFE．（3）由等體積公式求解，即.
【證】（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
平面ABE平面ACD，則DC∥，
又平面BCDE，CD平面BCDE，
所以∥平面BCDE．（4分）
【解】（2）在△DEF中，，由勾股定理知，
由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F是BC的中點，∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，
又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.（9分）
（3）==2．（13分）