Question

【題目】已知函數是定義域為R的奇函數.

（1）求t的值，并寫出的解析式；

（2）判斷在R上的單調性，并用定義證明；

（3）若函數在上的最小值為，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）或，；（2）R上單調遞增，證明見解析；（3）

【解析】

（1）是定義域為R的奇函數，利用奇函數的必要條件，求出的值，進而求出，驗證是否為奇函數；

（2）可判斷在上為增函數，用函數的單調性定義加以證明，取兩個不等的自變量，對應函數值做差，因式分解，判斷函數值差的符號，即可證明結論；

（3）由，換元令，，由（2）得，，根據條件轉化為在最小值為-2，對二次函數配方，求出對稱軸，分類討論求出最小值，即可求解

解：（1）因為是定義域為R的奇函數，

所以，即，解得或，

可知，此時滿足，

所以.

（2）在R上單調遞增.

證明如下：設，則

.

因為，所以，

所以，可得.

因為當時，有，

所以在R單調遞增.

（3）由（1）可知，

令，則，

因為是增函數，且，所以.

因為在上的最小值為，

所以在上的最小值為.

因為，

所以當時，，

解得或（舍去）；

當時，，不合題意，舍去.

綜上可知，.