Question

【題目】已知橢圓過點且橢圓的短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于兩點.試問軸上是否存在定點，使得，恒成立？若存在求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由橢圓性質可知,點代入即可求得結果.

（Ⅱ）假設存在定點符合題意，①當直線的斜率不存在時，由解得或；②當直線的斜率為0時,解得或.由①②可得,然后證明當時,通過方程聯立,借助韋達定理,坐標表示即可證得結論.

解：（Ⅰ）因為橢圓過點，所以.

又橢圓的短軸長為，所以，所以，

解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）假設在軸上存在定點，使得，

①當直線的斜率不存在時，則，，

，

由，解得或；

②當直線的斜率為0時，則，，，

由，解得或.

由①②可得，即點的坐標為.

下面證明當時，恒成立，當直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結論成立.

當直線斜率存在且不為0時，設其方程為，，，

由，得，

直線經過橢圓內一點，一定與橢圓有兩個交點，

且，.

，

所以

.

綜上所述，在軸上存在定點，使得恒成立..