Question

【題目】已知橢圓： 經過點，左右焦點分別為、，圓與直線相交所得弦長為2．　

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是橢圓上不在軸上的一個動點， 為坐標原點，過點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）直線與圓相交，根據弦長公式，求得，再根據橢圓過定點，建立方程，求得 ；（Ⅱ）設直線的方程為，直線的方程為 ，根據弦長公式分別求 ，將 表示為的函數，求取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得：圓心到直線的距離為1，即，所以，

又橢圓經過點，所以，得到，

所以橢圓的標準方程為．　

（Ⅱ）設， ， ， 的方程為，

則的方程為.

由得即

所以 ，

由，得，

所以， ，

，

所以，

因為，所以，即，即，

所以，即的取值范圍為．