Question

如圖，等腰梯形ABCD中，線段Ab的中點O是拋物線的頂點，DA、AB、BC分別與拋物線切于點M、O、N．等腰梯形的高是3，直線CD與拋物線相交于E、F兩點，線段EF的長是4．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求拋物線的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時M、N的位置．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O為圓點，建立直角坐標系，則F（2，3），設拋物線方程為y=ax²，a＞0，將F（2，3）代入，能夠求出拋物線方程．
（Ⅱ）由，設N（x，y），過點N的切線方程為，令y=0，又，，由此能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時M、N的位置．
解答：解：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O為圓點，建立直角坐標系，則F（2，3），
設拋物線方程為y=ax²，a＞0，
將F（2，3）代入，得a=，
所以，拋物線方程為，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
設N（x，y），過點N的切線方程為，
令y=0，又，∴，
∴．
令y=3，又，∴，
∴，
∴，
當且僅當，即時，取“=”號，此時N（），M（-）．
點評：本題考查拋物線的性質和應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值不等式的合理運用．