Question

已知定義在R上的函數f（x）的圖象關于點(-

3

4

，0)對稱，且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=

1

．

Answer 1

分析：首先由函數且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，又f（-1）=1，f（0）=-2，可以分析得f（x）=f（x+3）即可求出f（2）和f（3）．又函數f（x）的圖象關于點(-

3

4

，0)對稱，又可推出f（-1）=f（1），綜合考慮幾個周期關系條件即可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

解答：解：因為函數f（x）滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，則f（x）=f（x+3）
又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（-1）=f（-1+3）=f（2），又f（0）=f（0+3）=f（3）．
又函數f（x）的圖象關于點(-

3

4

，0)對稱，
f（-1）=f（-

1

2

）=f（-

1

2

+

2

3

）=f（1）所以f（1）+f（2）+f（3）=0．
又f（1+3）=f（4），f（2+3）=f（5），f（3+3）=f（6）…又

2008

3

= 669+1．
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=f（1）=f（-1）=1
故答案為1．

點評：此題主要考查函數的周期性問題，其中應用到函數關于點對稱的性質，對于函數周期性這個考點考查的時候多和奇偶性，對稱性問題綜合考慮，技巧性較強．