Question

（2013•普陀區一模）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，a=4

3

，b=6，cosA=-

1

3

．
（1）求c；
（2）求cos(2B-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosA的值，利用余弦定理列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；
（2）由cosA的值小于0，得到A為鈍角，即sinA大于0，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，再由sinA，a及b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值，進而利用二倍角的正弦、余弦函數公式求出sin2B與cos2B的值，所求式子利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即48=36+c²-2×c×6×（-

1

3

），
整理得：c²+4c-12=0，即（c+6）（c-2）=0，
解得：c=2或c=-6（舍去），
則c=2；
（2）由cosA=-

1

3

＜0，得A為鈍角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
在△ABC中，由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，
則sinB=

bsinA

a

=

6× 2 2 3

4 3

=

6

3

，
∵B為銳角，∴cosB=

1-sin2B

=

3

3

，
∴cos2B=1-2sin²B=-

1

3

，sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

，
則cos（2B-

π

4

）=

2

2

（cos2B+sin2B）=

2

2

×（-

1

3

+

2 2

3

）=

4- 2

6

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．