Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，當E、F分別在線段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2，現將梯形ABCD沿EF折疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直。
小題1:判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結論；
小題2:當直線AC與平面EFCD所成角為多少時，二面角A—DC—E的大小是60°。

Answer 1

解：
小題1: 、是異面直線，                              （1分）
法一（反證法）假設、共面為．
,,
,,．
,又
．
這與為梯形矛盾．故假設不成立．
即、是異面直線．                         （5分）
法二：在取一點M，使,又,
是平行四邊形．
，
則確定平面,
與是異面直線．
小題2:法一:延長，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，
設
則△NDE中，，
，平面平面,
平面．
過E作于H，連結AH，
則．
是二面角的平面角，
則．                                 （8分）
,,

,
此時在△EFC中，
．   （10分）
又平面,
是直線與平面所成的角,
．   （12分）
即當直線與平面所成角為時，
二面角的大小為。
法二：，面面
平面．
又．
故可以以E為原點，為x軸，為軸，
為Z軸建立空間直角坐標系，
可求設．
則，，
得平面的法向量,
則有，
可取．
平面的法向量
．
．（8分）
此時，．
設與平面所成角為，
則．
即當直線AC與平面EFCD所成角的大小為時，
二面角的大小為．（12分）

略