Question

（本小題滿分13分）如圖甲，直角梯形中，，，點、分別在，上，且，，，，現將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當的長為何值時，
二面角的大小為？

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC.
同理MA//平面DNC，又MAMB="M," 且MA,MB平面MAB.
.  (6分)
（Ⅱ）過N作NH交BC延長線于H，連HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN,
DN平面MBCN，從而,
為二面角D-BC-N的平面角.                                      (9分)
由MB=4，BC=2，知，
.                           (10分)
由條件知：                 （13分）
解法二：如圖，以點N為坐標原點，以NM，NC，ND所在直線分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系易得NC=3，MN=，
設，則.
（I）.
，
∵，
∴與平面共面，又，.     (6分)
（II）設平面DBC的法向量，
則，令，則， 
∴. （8分）又平面NBC的法向量.  （9分）

即：   又即    （13分）