Question

【題目】已知函數f（x）= ，直線y= x為曲線y=f（x）的切線（e為自然對數的底數）．
（1）求實數a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），若函數h（x）=g（x）﹣cx2為增函數，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= 的導數為f′（x）= ，

設切點為（m，n），即有n= ，n= m，

可得ame=em，①

由直線y= x為曲線y=f（x）的切線，可得

= ，②

由①②解得m=1，a=1

（2）解：函數g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），

由f（x）= 的導數為f′（x）= ，

當0＜x＜2時，f（x）遞增，x＞2時，f（x）遞減．

對x﹣ 在x＞0遞增，設y=f（x）和y=x﹣ 的交點為（x0，y0），

由f（1）﹣（1﹣1）= ＞0，f（2）﹣（2﹣ ）= ﹣ ＜0，即有1＜x0＜2，

當0＜x＜x0時，g（x）=x﹣ ，

h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣ ﹣cx2，h′（x）=1+ ﹣2cx，

由題意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0時恒成立，

即有2c≤ + ，由y= + 在（0，x0）遞減，

可得2c≤ + ①

當x≥x0時，g（x）= ，

h（x）=g（x）﹣cx2= ﹣cx2，h′（x）= ﹣2cx，

由題意可得h′（x）≥0在x≥x0時恒成立，

即有2c≤ ，由y= ，可得y′= ，

可得函數y在（3，+∞）遞增；在（x0，3）遞減，

即有x=3處取得極小值，且為最小值﹣ ．

可得2c≤﹣ ②，

由①②可得2c≤﹣ ，解得c≤﹣ ．

【解析】（1）求出f（x）的導數，設出切點（m，n），可得切線的斜率，由切線方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣ 的交點為（x0 ， y0），分別畫出y=f（x）和y=x﹣ 在x＞0的圖象，可得1＜x0＜2，再由新定義求得最小值，求得h（x）的解析式，由題意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0時恒成立，運用參數分離和函數的單調性，即可得到所求c的范圍．