Question

【題目】一個化肥廠生產甲種混合肥料1車皮、乙種混合肥料1車皮所需要的主要原料如表：

原料 種類	磷酸鹽（單位：噸）	硝酸鹽（單位：噸）
甲	4	20
乙	2	20

現庫存磷酸鹽8噸、硝酸鹽60噸，計劃在此基礎上生產若干車皮的甲、乙兩種混合肥料．
（1）設x，y分別表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數，試列出x，y滿足的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（2）若生產1車皮甲種肥料，利潤為3萬元；生產1車皮乙種肥料，利潤為2萬元．那么分別生產甲、乙兩種肥料多少車皮，能夠產生最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，x，y滿足的數學關系式為：

即 ．

在直角坐標系中可表示成如圖所示的平面區域（陰影部分）．

（2）解：設生產甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，

能夠產生利潤z萬元．則目標函數為z=3x+2y，

可行域如圖所示：

將z=3x+2y變形為 ，

由圖可知當直線 經過可行域上的點M時，截距 最大．

解方程組 ，

解的點M的坐標為：x=1，y=2． ）

所以zmax=3x+2y=3×1+2×2=7．

答：生產甲種肥料1車皮、乙種肥料2車皮，

能夠產生最大利潤，最大利潤是7萬元．

【解析】（1）由題意可得4x+2y≤8，20x+20y≤60，且x，y≥0，運用直線的畫法，結合二元一次不等式的區域，即可得到；（2）設生產甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，能夠產生利潤z萬元．則目標函數為z=3x+2y，將z=3x+2y變形為 ，可得z的幾何意義為y軸上的截距的2倍，運用平移法，即可得到所求最大值．