Question

已知數列{ a_n }是正項等比數列，若a₁=32，a₄=4，記b_n=log₂ a_n，則數列{b_n}的前n項和s_n的最大值為
（　　）

A．9

B．12

C．15

D．6

Answer 1

分析：由題意求出等比數列的公比，然后求出等比數列的通項公式，代入b_n=log₂ a_n，得到數列{b_n}為等差數列，寫出前n項和后利用二次函數求最值．

解答：解：設正項等比數列{ a_n }的公比為q（q＞0），
由a₁=32，a₄=4，得q3=

a4

a1

=

4

32

=

1

8

，∴q=

1

2

．
則an=a1qn-1=32×(

1

2

)n-1=26-n．
∴b_n=log₂ a_n=log226-n=6-n．
則b₁=5，
由b_n+1-b_n=6-（n+1）-（6-n）=-1．
∴數列{b_n}是以5為首項，以-1為公差的等差數列．
則數列{b_n}的前n項和S_n=5n+

n(n-1)(-1)

2

=-

n2

2

+

11n

2

．
∴當n=5或6時，S_n有最大值為15．
故選C．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了等差關系的確定，訓練了利用二次函數求最值，是中檔題．