Question

已知數列中{a_n}中a₁=3，a₂=5，其前n項和為S_n，滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)．
（1）試求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=

2n-1

an•an+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，證明：Tn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)，得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），從而可得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法可求得a_n．
（2）先表示出b_n，然后利用裂項相消法求得T_n，由T_n可得結論．

解答：解：（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)，得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∵a_n=S_n-S_n-1，
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），
又∵a₂-a₁=5-3=2，
∴a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3+…+2¹+3
=

2(1-2n-1)

1-2

+3=2ⁿ+1，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ+1．
（2）∵b_n=

2n-1

anan+1

=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）]，
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+1+1

）＜

1

6

．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項及數列求和，裂相消法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．