Question

已知數列{log2(an-2)}(n∈N*)為等差數列，且a₁=5，a₃=29．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）對任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立的實數m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{log₃（a_n-2）}的公差為d．根據a₁和a₃的值求得d，進而根據等差數列的通項公式求得數列{log₃（a_n-2）}的通項公式，進而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

中，進而根據等比數列的求和公式求得

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=1-

1

2n

，即可得出答案．

解答：解：（1）設等差數列{log₃（a_n-2）}的公差為d．
由a₁=5，a₃=29得log₃27=log₃3+2d，即d=1．
所以log₂（a_n-2）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+2．
（2）證明：因為

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2  - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

，
要

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立，
即1-

1

2n

＜m，由于1-

1

2n

＜1，
∴m≥1．
故存在m的最小值1，使得對任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立．

點評：本題考查等差、等比數列的性質與存在性問題，注意與對數函數或指數函數的結合運用時，往往同時涉及等比、等差數列的性質，是一個難點．