Question

若

a

、

b

是兩個不共線的非零向量（t∈R）．
（1）若

a

、

b

起點相同，t為何值時，若

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）三向量的終點在一直線上？
（2）若|

a

|=|

b

|且

a

與

b

是夾角為60°，那么t為何值時，|

a

-t

b

|有最小？

Answer 1

分析：（1）用兩個向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問題或共線問題，根據三個向量的終點在一條直線上，構造向量，得到向量之間的關系，得到要求的結果．
（2）求一個量的最小值，一般要先表示出這個變量，對于模長的運算，要對求得結果兩邊平方，變化為向量的數量積和模長之間的運算，根據二次函數的最值得到結果．

解答：解：（1）設

a

-t

b

=m[

a

-

1

3

（

a

+

b

）]（m∈R），
化簡得（

2m

3

-1）

a

=（

m

3

-t）

b

．
∵

a

與

b

不共線，
∴

2m 3 -1=0 m 3 -t=0

?

m= 3 2 t= 1 2 .

∴t=

1

2

時，

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）的終點在一直線上．
（2）|

a

-t

b

|²=（

a

-t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²-2t|

a

||

b

|cos60°=（1+t²-t）|

a

|²，
∴t=

1

2

時，|

a

-t

b

|有最小值

3

2

|

b

|．

點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的夾角和模，用數量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到求值域的問題，用二次函數求值域．