Question

給出以下四個命題：
①對任意兩個向量

a

，

b

都有|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|；
②若

a

，

b

是兩個不共線的向量，且

AB

=λ1

a

+

b

，

AC

=

a

+λ2

b

(λ1，λ2∈R)，則A、B、C共線?λ₁λ₂=-1；
③若向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，則

a

+

b

與

a

-

b

的夾角為90°；
④若向量

a

、

b

滿足|

a

|=3，|

b

|=4，|

a

+

b

|=

13

，則

a

，

b

的夾角為60°．
以上命題中，錯誤命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據兩個向量數量積的公式可知第一個命題是錯誤的，根據三點共線的充要條件可知兩個系數之積是1，而不是-1，利用向量的數量積做出第三個是正確的，把兩個向量的和的模長兩邊平方，代入已知向量的模長，得到夾角是120°．

解答：解：∵任意兩個向量

a

，

b

都有|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|cosθ；
∴①s是錯誤的，
要使的A、B、C共線，需要有

AB

=λ

AC

，
即λ1

a

+

b

=λ(

a

+λ2

b

)，
∴λ₁=λ，λλ₂=1，
∴λ₁λ₂=1，
∴②錯誤，
∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=0，
∴

a

+

b

與

a

-

b

的夾角為90°
∴③正確，
向量

a

、

b

滿足|

a

|=3，|

b

|=4，|

a

+

b

|=

13

，
則

a

，

b

的夾角為120°
④錯誤，
故答案為：①②④

點評：本題考查坐標形式的向量的數量積和向量的減法和數乘運算，以及向量的模長運算，是一個基礎題，在解題時主要應用向量的坐標形式，這樣題目變成簡單的數字的運算．