Question

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2

2

，橢圓與雙曲線

x2

3

-y²=1有共同的焦點．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A（3，0）的直線與橢圓相交于不同的P、Q兩點，求該直線斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．由雙曲線

x2

3

-y²=1可得c=2．由已知得

a2-c2=2 c=2

，解出即可．
（2）由題意可得A（3，0）．設直線PQ的方程為y=k（x-3）．與橢圓的方程聯立化為（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．由△＞0解出即可．

解答： 解：（1）由題意，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由雙曲線

x2

3

-y²=1可得c²=3+1=4，解得c=2．
由已知得

a2-c2=2 c=2

，解得a=

6

，c=2．
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由題意可得A（3，0）．設直線PQ的方程為y=k（x-3）．
聯立

y=k(x-3) x2+3y2=6

，化為（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．
依題意△=324k²-4（3k²+1）（27k²-6）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得△＞0，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．