Question

已知直線ax-by-3=0與f（x）=xe^x在點(diǎn)P（1，e）處的切線相互垂直，則

a

b

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線f（x）=xe^x在（1，e）處的切線斜率k，然后根據(jù)直線垂直的條件可求

a

b

的值．

解答： 解：設(shè)曲線f（x）=xe^x在點(diǎn)P（1，e）處的切線斜率為k，
由f（x）=xe^x，得f′（x）=e^x+xe^x，
則k=f′（1）=2e，
∵直線ax-by-2=0與曲線f（x）=xe^x在點(diǎn)P（1，e）處的切線互相垂直．
∴

a

b

=-

1

2e

．
故答案為：-

1

2e

．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，兩直線垂直的條件的運(yùn)用．屬于中檔題．