Question

已知函數f（x）=ax³+3x|x-2|+1，a∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a＞0時，若函數y=f（x）不存在極值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數在某點取得極值的條件

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=3x|x-2|，通過討論x的范圍，去掉絕對值號，從而求出單調區間；
（Ⅱ）先求出函數的導數，得到當a＞0時，若函數y=f（x）不存在極值，則只能是單調遞增．而當a＞0時容易得3ax²+6x-6≥0對x＞2恒成立；對于3ax²-6x+6≥0對x＜2恒成立，則應滿足

1 a ≥2 12a-12+6≥0

，解不等式求出即可．

解答： （Ⅰ）解：當a=0時，
∴f(x)=3x|x-2|+1=

3x2-6x+1，x＞2 -3x2+6x+1，x≤2

，
∴y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵f(x)=ax3+3x|x-2|+1=

ax3+3x2-6x+1，x＞2 ax3-3x2+6x+1，x≤2

，
∴f′(x)=

3ax2+6x-6，x＞2 3ax2-6x+6，x＜2

；
∵a＞0，∴3ax²+6x-6≤0在（2，+∞）不可能恒成立，
即y=f（x）不可能是單調遞減．
∴當a＞0時，若函數y=f（x）不存在極值，則只能是單調遞增．
則有3ax²+6x-6≥0對x＞2恒成立，
3ax²-6x+6≥0對x＜2也恒成立．
而當a＞0時容易得3ax²+6x-6≥0對x＞2恒成立；
對于3ax²-6x+6≥0對x＜2恒成立，
則應滿足

1 a ≥2 12a-12+6≥0

，
或

0＜ 1 a ＜2 3a( 1 a )2- 6 a +6≥0

，
得a=

1

2

，或a＞

1

2

，
即a≥

1

2

．

點評：本題考察了利用導數求函數的單調性，求函數的極值問題，是一道綜合題．