Question

【題目】已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn).求證：以為直徑的圓恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)列式求解，同時(shí)注意定義域即可；

(2)聯(lián)立與橢圓的方程，設(shè)，，得出韋達(dá)定理，進(jìn)而求得的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而求得的長及的中點(diǎn)，寫出以為直徑的圓的方程，即可分析出所過定點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得

整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程

（2）當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，消去得

設(shè)，，則，

直線的方程為，令，得，即，

同理，

∴

∴

線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故以為直徑的圓的方程為：

令得:，解得或

此時(shí)以為直徑的圓過點(diǎn)和

當(dāng)軸時(shí)，，，，

則以為直徑的圓的方程為，也過點(diǎn)，

所以，以為直徑的圓恒過點(diǎn)和.