Question

設函數
(I)討論的單調性；
（II）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）（1）當時，故在上單調遞增 ；
（2）當時，的兩根都小于，在上，，
故在上單調遞增；
（3）分別在上單調遞增，在上單調遞減．
（II）不存在，使得 

試題分析：（I）的定義域為        1分
令，其判別式                   2分
（1）當時，故在上單調遞增        3分
（2）當時，的兩根都小于，在上，，
故在上單調遞增                       4分
（3）當時，的兩根為，
當時， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調遞增，在上單調遞減．     6分
（II）由（I）知，．因為，
所以               7分
又由(I)知，．于是               8分
若存在，使得則．即．     9分
亦即                     0分
再由（I）知，函數在上單調遞增，         11分
而，所以這與式矛盾．
故不存在，使得                       12分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間，得到直線斜率表達式。存在性問題，往往要假設存在，利用已知條件探求。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。