Question

已知△ABC與△DBC都是邊長為2的等邊三角形，且平面ABC⊥平面DBC，過點A作PA⊥平面ABC，且AP=2

3

．
（1）求證：PA∥平面DBC；
（2）求直線PD與平面DBC所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取BC的中點O，連接DO，由已知條件推導出DO∥PA，由此能證明PA∥平面DBC．
（2）由已知條件推導出直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，過D作DM∥OA交PA于M，則∠PDM就是直線PD與平面DBC所成角，由此能求出結果．

解答： （1）證明：取BC的中點O，連接DO，
∵△ABC與△DBC都是邊長為2的等邊三角形，
∴DO⊥BC，
又∵平面DBC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC．
∵AP⊥平面ABC，∴DO∥PA，
又∵DO在平面DBC內，PA不包含于平面DBC，
∴PA∥平面DBC．
（2）解：∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，
即直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，
過D作DM∥OA交PA于M，由（1）可知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1，∴PM=1，
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

，∴∠PDM=45°．
∴直線PD與平面DBC所成角的大小為45°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．