Question

【題目】已知函數(shù),.

(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)討論的單調(diào)性;

(3)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍(只需直接寫出結(jié)果).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，的值，求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，得到，所得到，證明當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)即可．

解：（1）時(shí)，，

， ，，

故切線方程是：，

故切線方程是：

（2）

①當(dāng)時(shí)，顯然，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，則，易知其判別式為正，

設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，則，

，

令得，其中，

所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．

（3）由（2）知

①當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在，上遞減，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必須，即，

又由得：，代入上面的不等式得：，解得，

，所以

下面證明：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．

，

，

又，

且，

，

所以在與上各有一個(gè)零點(diǎn)．