Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，已知AB＝2，EF＝1．

（I）求證：平面DAF⊥平面CBF；

（II）若BC＝1，求四棱錐F－ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）.

【解析】

（I）通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（II）矩形所在平面和圓所在平面垂直，點到邊的距離即為四棱錐FABCD的高，然后利用錐體體積公式求得四棱錐的體積.

（I）

∵AB為圓O的直徑，點F在圓O上

∴AF⊥BF

又矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直且它們的交線為AB，CB⊥AB

∴CB⊥圓O所在平面

∴AF⊥BC

又BC、 BF為平面CBF上兩相交直線

∴AF⊥平面CBF

又

∴平面DAF⊥平面CBF．

（II）連接OE

∵AB＝2，EF＝1，ABEF

∴OA＝OE＝1，即四邊形OEFA為菱形

∴AF＝OA＝OF＝1

∴等邊三角形OAF中，點F到邊OA的距離為

又矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直

∴點F到邊OA的距離即為四棱錐F－ABCD的高

∴四棱錐F－ABCD的高

又BC＝1

∴矩形的ABCD的面積SABCD＝

∴