Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn)并判斷是極大值還是極小值；

（Ⅲ）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增

（2）時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，

（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)有惟一極小值點(diǎn)故可以得到函數(shù)借助于單調(diào)性來證明不等式。

【解析】

試題分析：解：（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080912430441195769/SYS201308091244383786382908_DA.files/image004.png">，

    

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．  …………4分

（2）當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同解， ，,

此時(shí) ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，     ………8分

（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

此時(shí)有惟一極小值點(diǎn)

且 

                      …… 11分

令函數(shù)

 

 13分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用，屬于難度題。