Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明：；

（2）當時，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）當時，求得，，結合和的符號，求得函數的單調性，進而作出證明；

（2）先求得是的一個零點，由，，

分類、和三種情況討論，結合函數的單調性和零點的存在定理，即可求解.

（1）當時，，則，

可得，

當時，可得，所以，

所以在單調遞減，所以；

當時，，所以，

所以在單調遞增，所以，

所以在單調遞增，，

綜上可得，，當且僅當時等號成立.

（2）當時，，所以是的一個零點，

由，，

（i）當時，由（1）知僅有一個零點；

（ii）當時，

①當時，，

所以函數在單調遞減，，

所以當時，無零點，

②當時，，在（單調遞增，

因為，

，

所以在上存在唯一，使得，

當時，，在單調遞減，

有，所以在無零點.

當時，，在單調遞增，

又，

設（），，，

所以在遞增，有，

所以在遞增，有，即，

因此，在有1個零點，

所以當時，有2個零點.

（iii）當時，

①當時，，在單調遞增，

所以，在單調遞增，，

所以在無零點

②當時，，有，

所以在無零點

③當時，，，在單調遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當時，，在單調遞減，

當時，，在單調遞增，

又，，所以在有1個零點，

所以當時，有2個零點.

綜上所述，當時，有1個零點；當或時，有2個零點.