Question

【題目】2020年4月8日零時正式解除離漢通道管控，這標志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態下，武漢市有序復工復產復市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，嚴密防范、慎終如始.為科學合理地做好小區管理工作，結合復工復產復市的實際需要，某小區物業提供了A，B兩種小區管理方案，為了決定選取哪種方案為小區的最終管理方案，隨機選取了4名物業人員進行投票，物業人員投票的規則如下：①單獨投給A方案，則A方案得1分，B方案得﹣1分；②單獨投給B方案，則B方案得1分，A方案得﹣1分；③棄權或同時投票給A，B方案，則兩種方案均得0分.前1名物業人員的投票結束，再安排下1名物業人員投票，當其中一種方案比另一種方案多4分或4名物業人員均已投票時，就停止投票，最后選取得分多的方案為小區的最終管理方案.假設A，B兩種方案獲得每1名物業人員投票的概率分別為和.

（1）在第1名物業人員投票結束后，A方案的得分記為ξ，求ξ的分布列；

（2）求最終選取A方案為小區管理方案的概率.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；（2）.

【解析】

(1) 由題意知，ξ的所有可能取值為﹣1，0，1，然后，列出ξ的分布列即可

(2) 記M1表示事件“前2名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

記M2表示事件“前3名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

記M3表示事件“共有4名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

記選取A方案為小區管理方案的概率為P，

然后分別求出，，的值，則選取A方案為小區管理方案的概率為：

，然后計算求解即可.

（1）由題意知，ξ的所有可能取值為﹣1，0，1，

P（ξ=﹣1）=（1），P（ξ=0），P（ξ=1），

∴ξ的分布列為

（2）記M1表示事件“前2名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

由（1）知，，

記M2表示事件“前3名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

，

記M3表示事件“共有4名物業人員進行了投票，且最終選取A方案為小區管理方案”，

①若A方案比B方案多4分，有兩類：

第一類，A方案前三次得了一次1分兩次0分，最后一次得1分，其概率為；

第二類，A方案前兩次得了一次1分一次﹣1分，后兩次均得1分，其概率為，

②若A方案比B方案多2分，有三類：

第一類，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率為；

第二類，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率為；

第三類，A方案前兩次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率為.

故，

∴最終選取A方案為小區管理方案的概率為.