Question

【題目】已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，點P是橢圓上的任意一點，且的最大值為4，橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ設點，過點P作兩條直線，與圓相切且分別交橢圓于M，N，求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ利用橢圓的離心率，以及基本不等式和橢圓的定義，求出a，b，然后求解橢圓方程．

Ⅱ直線，的斜率存在，設為，，，，直線，與圓相切，則有，直線的方程為直線的方程為，與橢圓方程聯立，求出，同理，當與橢圓相交時，然后求解直線的斜率即可．

解：Ⅰ雙曲線的離心率為，

可得橢圓C的離心率為，設橢圓的半焦距為c，，

，

，

，

又

橢圓方程為；

Ⅱ證明：顯然兩直線，的斜率存在，

設為，，，，

由于直線，與圓相切，則有，

直線的方程為，

聯立橢圓方程，

消去y，得，

，M為直線與橢圓的交點，所以，

同理，當與橢圓相交時，，

，而，

直線MN的斜率．