Question

【題目】已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點的直線交軸的負半軸于點，交C于點(在第一象限)，且是線段的中點，過點作x軸的垂線交C于另一點，延長線交C于點.

(i)設直線，的斜率分別為，，證明：；

(ii)求直線的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)見解析；(ii)

【解析】

（Ⅰ）根據拋物線焦點坐標求得，再利用離心率和的關系求得，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）(i)利用為線段中點表示出點坐標，再根據橢圓對稱性得到點坐標；利用兩點連線斜率公式表示出和，從而結論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯立，利用韋達定理可用和表示出，利用同理可求得，進而利用兩點連線斜率公式寫出所求斜率，結合基本不等式求出最小值.

（Ⅰ）拋物線的焦點是

且 ，

橢圓的方程

（Ⅱ）(i)設，那么

是線段的中點 ，

，

(ii)根據題意得：直線的斜率一定存在且

設直線為，則直線為

聯立，整理得：

利用韋達定理可知：

同理可得

當且僅當即為時，等號成立

直線斜率的最小值為