Question

【題目】設函數．

（1）若函數在上為減函數，求實數的最小值；

（2）若存在，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最小值為；（II）

【解析】試題分析： 在上為減函數，等價于在上恒成立，進而轉化為，根據二次函數的性質可得

命題“若存在, ，使成立”等價于

“當時，有 ”， 由易求，從而問題等價于“當時，有”，分 , 兩種情況討論:

當是易求，當時可求得的值域為，再按

兩種情況討論即可

解析：（1）由已知得，

因在上為減函數，故在上恒成立。

所以當時。

又，

故當時，即時， .

所以，于是，故的最小值為.

（2）命題“若存在, ，使成立”等價于

“當時，” ”，

由（1），當時， ， .

問題等價于：“當時，有”.

當，由（1），在為減函數，

則，故.

當時，由于在上的值域為

（i），即， 在恒成立，故在上為增函數，

于是， ，矛盾。

（ii），即，由的單調性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當時， ， 為減函數；當時， ， 為增函數；

所以， ，

所以， ，與矛盾。

綜上得