Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，，E為PC的中點．

證明：平面PAD；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

設(shè)F為PD的中點，連接EF，證明，推出四邊形ABEF為平行四邊形，所以然后證明平面PAD．

取AB中點M，連接DM，證明，以DM、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個法向量，平面PCD的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，利用空間向量的數(shù)量積求解即可

證明：設(shè)F為PD的中點，連接EF，FA．

因為EF為的中位線，所以，

且．

又，，所以，且

故四邊形ABEF為平行四邊形，所以．

又平面PAD，平面PAD，所以平面

解：取AB中點M，連接DM

，，

為等邊三角形

從而，中線，且，

又，故D

如圖所示，

以DM、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，

，4，，0，

于是，

設(shè)平面PBC的一個法向量為y，

則，，從而，

，解得

令，得，且

易知，平面PCD的一個法向量為，且

設(shè)二面角的平面角為，

則．