Question

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l與橢圓的位置關系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

(1) ;(2)直線l與橢圓相切;(3)

試題分析：(1)直線是拋物線的一條切線.所以將直線代入拋物線方程，即，得出的值，利用，橢圓中,依次解出,從而解出方程；
（2）直線與橢圓方程聯立，注意用到平方相減消，得到關于的方程，求其，利用點在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關系;
（3）首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時,求其切線方程，并求他們的交點，交點有可能是恒過的定點，如果是圓上恒過的定點，如果是則需滿足，,從而判定所求交點是否是真正的定點.此題屬于較難習題.
試題解析：（1）因為直線是拋物線的一條切線，所以，
即        2分
又，所以，
所以橢圓的方程是.                 4分
（2）由得

①

②

由①²+②得

 
∴直線l與橢圓相切                9分
(3）首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時，
求得兩圓的方程為
，
兩圓相交于點（，0），（，0），
若定點為橢圓的右焦點（.
則需證：.
設點，則橢圓過點P的切線方程是，
所以點
，
 所以.                    11分
若定點為，
則，不滿足題意.
綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點（，0）.      14分