Question

已知三棱錐S-ABC中，平面ASC⊥平面ABC，O、D分別為AC、AB的中點，AS=CS=CD=AD=

2

2

AC
（1）求證：平面ASC⊥平面BCS
（2）設AC=2，求三棱錐S-BCD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據幾何體的結構特征得到SO⊥AC，OD⊥AC，進而利用垂直共線得到BC⊥AC與SO⊥BC，可證明線面垂直，又因為垂線在另一個平面內所以可得面面垂直；
（2）由（1）知SO為三棱錐S-BCD的高，利用V=

1

3

S_△BCD•SO，可求三棱錐S-BCD的體積．

解答： （1）證明：連接SO，OD，則
因為AS=CS=CD=AD=

2

2

AC，O為AC的中點
所以SO⊥AC，OD⊥AC，
又D為AB的中點，所以OD∥BC，所以BC⊥AC．
又因為平面SAC⊥平面ABC，
所以SO⊥平面ABC，所以SO⊥BC．
故可得CB⊥平面SAC．
因為BC?平面BSC，
所以平面ASC⊥平面BSC；
（2）解：由（1）知SO為三棱錐S-BCD的高，
因為AC=2，
所以AS=SC=

2

，AO=1，AB=2AD=2

2

，
所以BC=

AB2-AC2

=2，SO=

AS2-AO2

=1，
所以S_△BCD=

1

2

•S△ABC=1，
所以三棱錐S-BCD的體積V=

1

3

S_△BCD•SO=

1

3

•1•1=

1

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，有利于確定線面垂直的條件．