Question

【題目】已知橢圓的中心和拋物線的頂點都在坐標原點， 和有公共焦點，點在軸正半軸上，且的長軸長、短軸長及點到直線的距離成等比數列。

（Ⅰ）當的準線與直線的距離為時，求及的方程；

（Ⅱ）設過點且斜率為的直線交于， 兩點，交于， 兩點。當時，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）： ， ： （Ⅱ）

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件“的長軸長、短軸長及點到直線的距離成等比數列”建立方程求得，從而求出的右準線方程為，然后借助題設“的準線與直線的距離為”建立方程求出，求出及的方程；（2）先建立直線的方程： ，后與橢圓方程聯立，借助已知求出的值，再與曲線的方程聯立求出的值：

解：（Ⅰ）設： ，其半焦距為 ．則： ．

　　　由條件知，得．

　　　的右準線方程為，即．

　　　的準線方程為．

　　　由條件知，　所以，故， ．

　　　從而： ， ： ．

（Ⅱ）由題設知： ，設， ， ， ．

　　　由（Ⅰ）知，即

由， 知滿足 ，

從而　　　

由條件,得， 故： ．

由 得，所以

于是