Question

【題目】函數.

（1）討論的單調性；

（2）設，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（1）當時， 在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；（2）當時, 在上是增函數；（iii）當時， 在是上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；（2）詳見試題分析．

【解析】試題分析：（1）首先求函數的定義域， 的導數： ，再分， ， 三種情況，討論函數的單調性；（2）先在（1）的基礎上，當時，由的單調性得．同理當時，由的單調性得．下面再用數學歸納法證明．

（1）的定義域為．

（1）當時，若，則在上是增函數；若則在上是減函數；若則在上是增函數．

（2）當時, 成立當且僅當在上是增函數．

（iii）當時，若，則在是上是增函數；若，則在上是減函數；若，則在上是增函數．

（2）由（1）知，當時， 在是增函數．當時，，即．又由（1）知，當時， 在上是減函數；當時，，即．下面用數學歸納法證明．

（1）當時，由已知，故結論成立；

（2）假設當時結論成立，即．當時， ，即當時有，結論成立．根據（1）、（2）知對任何結論都成立．