Question

（2013•杭州一模）已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球（球除顏色外，無其它區別）．若甲箱從中任取2個球，從乙箱中任取1個球．
（Ⅰ）記取出的3個球的顏色全不相同的概率為P，求當P取得最大值時x，y的值；
（Ⅱ）當x=2時，求取出的3個球中紅球個數ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（I）據排列組合求出三個球的顏色各不同的取法，利用古典概型的概率公式求出概率，再利用基本不等式求其最大值即可．
（II）由題意知當x=2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，故ξ的取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）由題意知：
P=

C 1 x C 1 y

C 2 6 C 1 4

=

xy

60

≤

1

60

(

x+y

2

)2=

3

20

，
當且僅當x=y時，取等號，故當P取得最大值時x，y的值都為3．
（II）當x=2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
則P（ξ=0）=

C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

5

；P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4 C 1 2 + C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

7

15

；
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 1 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

3

10

；P（ξ=3）=

C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

30

；
所以ξ的分布列為（必須寫出分布列，否則扣1分）

ξ	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

…（11分）
故Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

，
所求取出的3個球中紅球個數ξ的期望E（ξ）=

7

6

．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望．求事件的概率關鍵是判斷出事件是獨立事件的積事件還是互斥事件的和事件，選擇合適的公式求出事件的概率．