Question

【題目】在平面直角坐標系中,點滿足方程.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）作曲線關于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點,過點作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點,過點,分別作曲線的切線,,證明：,的交點必在曲線上.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

(1)平方化簡,即可求解；

(2)根據導數的幾何意義求出切線l的方程,與曲線方程聯立,由韋達定理,確定兩交點A,B坐標關系,再利用導數的幾何意義,求出切線,的方程,并聯立求出交點坐標,再證明滿足軌跡的方程即可.

(1)由,

兩邊平方并化簡,得,即,

所以點M的軌跡C的方程為.

(2)依題可設點,,

曲線C切于點P的切線l的斜率為,

切線l的方程為,

整理得

依題可知曲線,

聯立方程組,,

設,,所以,.（*）

設曲線上點處的切線斜率為,

切線方程為,整理得,

同理可得曲線上點處的切線方程為,

聯立方程組,,

又由（*）式得,則,的交點坐標為,

滿足曲線的方程.

即,的交點必在曲線上.