Question

本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC．
B：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣M=

k 0 0 1

，N=

0 1 1 0

，點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)分別為A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，求k的值．
C：在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值．
D：設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3≥

ab

(a2+b2)．

Answer 1

分析：A、連接OD，則OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再證明OB=BC=OD=OA，即可求解．
B、由題設(shè)得MN=

k 0 0 1

0 1 1 0

=

0 k 1 0

，根據(jù)矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行求解．
C、在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由題意將圓和直線先化為一般方程坐標(biāo)，然后再計(jì)算a值．
D、利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮證明，a3+b3-

ab

(a2+b2)=a2

a

(

a

-

b

)+b2

b

(

b

-

a

)然后再進(jìn)行討論求證．

解答：解：A：（方法一）證明：連接OD，則：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

（方法二）證明：連接OD、BD．
因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，AB=2OB．
因?yàn)镈C是圓O的切線，所以∠CDO=90°．
又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．
故AB=2BC．
B滿分（10分）．由題設(shè)得MN=

k 0 0 1

0 1 1 0

=

0 k 1 0

由

0 k 1 0

0 -2 -2 0 0 1

=

0 0 k 0 -2 -2

，可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）．
計(jì)算得△ABC面積的面積是1，△A₁B₁C₁的面積是|k|，則由題設(shè)知：|k|=2×1=2．
所以k的值為2或-2．
C解：ρ²=2ρcosθ，圓ρ=2cosθ的普通方程為：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，
又圓與直線相切，所以

|3•1+4•0+a|

32+42

=1，
解得：a=2，或a=-8．
D（方法一）證明：a3+b3-

ab

(a2+b2)=a2

a

(

a

-

b

)+b2

b

(

b

-

a

)
=(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]
=(

a

-

b

)2[(

a

)4+(

a

)3(

b

)+(

a

)2(

b

)2+(

a

)(

b

)3+(

b

)4]
因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b≥0，(

a

-

b

)2≥0，[(

a

)4+(

a

)3(

b

)+(

a

)2(

b

)2+(

a

)(

b

)3+(

b

)4]≥0
所以上式≥0．即有a3+b3≥

ab

(a2+b2)．
（方法二）證明：由a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3+b3-

ab

(a2+b2)
=a2

a

(

a

-

b

)+b2

b

(

b

-

a

)
=(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]
當(dāng)a≥b時(shí)，

a

≥

b

，從而(

a

)5≥(

b

)5，得(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]≥0；
當(dāng)a＜b時(shí)，

a

＜

b

，從而(

a

)5＜(

b

)5，得(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]＜0；
所以a3+b3≥

ab

(a2+b2)．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力，及圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力還考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力．另外此題也考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．