Question

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，已知兩圓交于A、B兩點，過點A、B的直線分別與兩圓交于P、Q和M、N．求證：PM∥QN．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣A的逆矩陣A^-1=

1 0 0 2

，求矩陣A．
C．（極坐標與參數方程）
在平面直角坐標系xOy中，過橢圓

x2

12

+

y2

4

=1在第一象限處的一點P（x，y）分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M、N，求矩形PMON周長最大值時點P的坐標．
D．（不等式選講）
已知關于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：A：先連接AB，利用圓的性質易得∠ABN和∠APM相等，及∠ABN和∠AQN互補，從而得到∠APM+∠AQN=π，再結合點P，A，Q三點共線，即得．
B：根據已知條件，求出矩陣M，由M•M^-1=E，列出關于矩陳M中參數的方程組即可求得M．
C：先設

x=2 3 cosα y=2sinα

（α為參數），將矩形PMON周長表示成參數的三角函數的形式，利用三角函數的有啥界性即可求出矩形PMON周長取最大值；
D．對x分情況進行討論：若x-1＜0，則a∈R；若x-1≥0，即（a-1）[（a+1）-2x]＞0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，列出關于a的不等關系即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：A．連接AB，易得∠ABN=∠APM，∠ABN+∠AQN=π，
所以∠APM+∠AQN=π，
又點P，A，Q三點共線，
故PM∥QN．
B．設A=

a b c d

，則由AA^-1=E得

a b c d

1 0 0 2

=

1 0 0 1

，
解得

a=1 b=0 c=0 d= 1 2

所以A=

1 0 0 1 2

．

C．設

x=2 3 cosα y=2sinα

（α為參數），
則矩形PMON周長的一半為：2

3

cosα+2sinα=4sin(α+

π

3

)，
所以，當α=

π

6

時，矩形PMON周長取最大值4×2=8，
此時，點P（3，1）．
D．證明：若x-1＜0，則a∈R；
若x-1≥0，則（x-a）²＞（x-1）²對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
所以

a-1＞0 a+1＜2x

或

a-1＜0 a+1＞2x

對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
解得a＜1．

點評：本題主要考查圓的有關知識、逆矩陣、解絕對值不等式、橢圓的參數方程的基本方法，考查運算求解的能力．難度不大，做題要仔細．