Question

選做題本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中 兩題 作答，每小題10分，共計20分，
解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
B選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=

ab cd

，矩陣A屬于特征值λ₁=-1的一個特征向量為α1=

1 -1

，屬于特征值λ₂=4的一個特征向量為α2=

3 2

．求矩陣A．
C選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

(α為參數)．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．點
P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
D選修4-5：不等式選講
若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

Answer 1

分析：A：根據MA為圓O的切線，由切割線定理得MA²=MB•MC．從而MP²=MB•MC．依據相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．
B：由特征值、特征向量定義可知，Aα₁=λ₁α₁，得關于a，b的方程，解得a，b，c，d即可得矩陣．
C：先將原極坐標方程化簡為ρcosθ+ρsinθ=4，再化成直線l的直角坐標方程，設點P的坐標為（2cosα，sinα），利用點到直線l的距離結合三角函數的有界性即可；
D：利用柯西不等式結合正數a，b，c滿足a+b+c=1，得出

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1，從而得出原式取最小值．

解答：解：A
因為MA為圓O的切線，所以MA²=MB•MC．
又M為PA的中點，所以MP²=MB•MC．
因為∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC．（5分）
于是∠MPB=∠MCP．
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，得∠MPB=20°．（10分）
B：
由特征值、特征向量定義可知，Aα₁=λ₁α₁，
即

ab cd

1 -1

=-1×

1 -1

，得

a-b=-1 c-d=1.

（5分）
同理可得

3a+2b=12 3c+2d=8

解得a=2，b=3，c=2，d=1．因此矩陣A=

23 21

．（10分）
C：
ρcos(θ-

π

4

)=2

2

化簡為ρcosθ+ρsinθ=4，
則直線l的直角坐標方程為x+y=4．（4分）
設點P的坐標為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離d=

|2cosα+sinα-4|

2

，
即d=

| 5 sin(α+φ)-4|

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

．（8分）
當sin（α+φ）=-1時，dmax=2

2

+

10

2

．（10分）
D：
因為正數a，b，c滿足a+b+c=1，
所以，(

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

)[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2，（5分）
即

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1，
當且僅當3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=

1

3

時，原式取最小值1．（10分）

點評：本小題主要考查特征值與特征向量的計算、相似三角形的判定、簡單曲線的極坐標方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．