Question

（本題滿分12分）
在△ABC中，三個內角是A、B、C的對邊分別是a、b、c，其中c=10，且
（I）求證：△ABC是直角三角形；
（II）設圓O過A、B、C三點，點P位于劣弧AC上，∠PAB=60°．求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

（1）略
（2）18+．

（1）證明：根據正弦定理得，…………2分
整理為，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∵sin2A－sin2B=0，  ∴2cos（A+B）·sin（A－B）=0．
∵A+B=π－C，     ∴cosC·sin（A－B）=0．…………5分
  ∴…………7分
 ∴舍去A="  " B． ∴．
故△ABC是直角三角形．………………8分
（2）解：由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ACB中，

   ∴
=
=…………11分
連結PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5，
∴四邊形ABCP的面積

    =24+
=18+．………………14分