Question

已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項

Answer 1

5n－3

解 ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①  ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁="3."
又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②
由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)="0 "
∵a_n+a_n－1>0  , ∴a_n－a_n－1="5" (n≥2).
當a₁=3時,a₃=13,a₁₅="73." a₁, a₃,a₁₅不成等比數列∴a₁≠3;
當a₁=2時, a₃="12," a₁₅="72," 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁="2," ∴a_n=5n－3.