Question

（2012•福建）如圖，等邊三角形OAB的邊長為8

3

，且其三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求拋物線E的方程；
（2）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相較于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

Answer 1

分析：（1）依題意，|OB|=8

3

，∠BOy=30°，從而可得B（4

3

，12），利用B在x²=2py（p＞0）上，可求拋物線E的方程；
（2）由（1）知，y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，設P（x₀，y₀），可得l：y=

1

2

x0x-

1

4

x02，與y=-1聯立，求得Q(

x02-4

2x0

，-1)取x₀=2，x₀=1，猜想滿足條件的點M存在，再進行證明即可．

解答：解：（1）依題意，|OB|=8

3

，∠BOy=30°，
設B（x，y），則x=|OB|sin30°=4

3

，y=|OB|cos30°=12
∵B（4

3

，12）在x²=2py（p＞0）上，∴(4

3

)2=2p×12
∴p=2，
∴拋物線E的方程為x²=4y；
（2）由（1）知，y=

1

4

x2，y′=

1

2

x
設P（x₀，y₀），則x₀≠0．l：y-y0=

1

2

x0(x-x0)即y=

1

2

x0x-

1

4

x02
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=-1

得

x= x02-4 2x0 y=-1

，∴Q(

x02-4

2x0

，-1)
取x₀=2，此時P（2，1），Q（0，-1），以PQ為直徑的圓為（x-1）²+y²=2，交y軸于點M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x₀=1，此時P（1，

1

4

），Q（-

3

2

，-1），以PQ為直徑的圓為（x+

1

4

）²+（y+

3

8

）²=2，交y軸于點M₃（0，1）或M₄（0，-

7

4

）
故若滿足條件的點M存在，只能是M（0，1），證明如下
∵

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(

x02-4

2x0

，-2)
∴

MP

•

MQ

=

x02-4

2x0

-2y0+2=2y₀-2-2y₀+2=0
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（0，1）．

點評：本題主要考查拋物線的定義域性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．