Question

（2012•福建）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點，

AB

，

AD

，

AA 1

的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，設AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量

AD 1

與

B 1E

的坐標，驗證其數量積為0即可證出兩線段垂直．
（II）由題意，可先假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．
（III）由題設條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關于a的方程，解出a的值即可得出AB的長

解答：解：（I）以A為原點，

AB

，

AD

，

AA 1

的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
設AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（

a

2

，1，0），B₁（a，0，1）
故

AD 1

=（0，1，1），

B 1E

=（-

a

2

，1，-1），

AB 1

=（a，0，1），

A E

=（

a

2

，1，0），
∵

AD 1

•

B 1E

=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁；
（II）假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE．此時

DP

=（0，-1，t）．
又設平面B₁AE的法向量

n

=（x，y，z）．
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥B₁A，

n

⊥AE，得

ax+z=0 ax 2 +y=0

，取x=1，得平面B₁AE的一個法向量

n

=（1，-

a

2

，-a）．
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，即有

n

•

DP

=0，有此得

a

2

-at=0，解得t=

1

2

，即P（0，0，

1

2

），
又DP?平面B₁AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP=

1

2

（III）連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（I）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴AD₁是平面B₁A₁E的一個法向量，此時

AD 1

=（0，1，1）．
設

AD 1

與

n

所成的角為θ，則cosθ=

AD 1 • n

| AD 1 || n |

=

- a 2 -a

2 1+ a2 4 +a2

∵二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，
∴|cosθ|=cos30°=

3

2

即

- a 2 -a

2 1+ a2 4 +a2

=

3

2

，解得a=2，即AB的長為2

點評：本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行及線線垂直，解題的關鍵是建立恰當的坐標系及空間位置關系與向量的對應，此類解題，方法簡單思維量小，但計算量大，易因為計算錯誤導致解題失敗，解題時要嚴謹，認真，利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點，必考內容，學習時要好好把握