Question

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，｜OF｜＝2｜FA｜，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)． (1) 求橢圓的方程及離心率 (2) 若·＝0，求直線PQ的方程 (3) 設(shè)＝λ(λ＞1)，過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：－λ．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為＋=1(a＞) 　　由已知得∴a=，c=2， 　　∴橢圓的方程為＋=1，e=． 　　分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系以及解析幾何的基本思想方法和綜合解題的能力．
(2)	由(1)得A(3，0)．設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－3)，則得(3k2十1)x2－18k2x＋27k2－6=0． 　　依題意得△=12(2－3k2)＞0，得－＜k＜． 　　設(shè)P(x1，y2)，Q(x2，y2)，則　 　　由直線PQ的方程得y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，∴y1y2=k2(x1－3)(x2－3)=k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．　　　　　　�、� 　　∵·=0，∴x1x2＋y1y2=0．　　④ 　　由①、②、③、④得5k2=1，∴k=±∈． 　　∴直線PQ的方程為x－y－3=0或x十y－3=0．
(3)	=(x1－3，y1)，=(x1－3，y2)，由已知得方程組 　　注意λ＞1，解得x2=． 　　∵F(2，0)，M(x1，－y1)， 　　∴=(x1－2，－y1)=(λ(x2－3)十1，－y1)－(，－y1)=－λ(，y2)． 　　而=(x2－2，y2)=(，y2)， 　　∴=－λ．