Question

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2

2

，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求直線PQ的方程；
（3）設

AP

=λ

AQ

（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明

FM

=-λ

FQ

．

Answer 1

分析：（1）由題意，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)，列出關于a，b的方程組，解出a，b值，從而求得橢圓的方程及離心率；（2）由（1）可得A（3，0）．設直線PQ的方程為y=k（x-3）．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量垂直條件即可求得k值，從而解決問題．
（2）先得出向量的坐標

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．由已知得方程組解得x₂，最后經(jīng)計算得出

FM

=-λ

FQ

即可．

解答：（1）解：由題意，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c).

解得a=

6

，  c=2
所以橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，離心率e=

6

3

．
（2）解：由（1）可得A（3，0）．
設直線PQ的方程為y=k（x-3）．由方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依題意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

18k2

3k2+1

，①
x1x2=

27k2-6

3k2+1

．②
由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]．③
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．④
由①②③④得5k²=1，從而k=±

5

5

∈(-

6

3

，  

6

3

)．
所以直線PQ的方程為x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0
（3）證明：

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．
由已知得方程組

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x 2 1 6 + y 2 1 2 =1 x 2 2 6 + y 2 2 2 =1.

注意λ＞1，解得x2=

5λ-1

2λ

因F（2，0），M（x₁，-y₁），故

FM

=(x1-2，  -y1)=(λ(x2-3)+1，  -y1)=(

1-λ

2

，  -y1)=-λ(

λ-1

2λ

，  y2)．
而

FQ

=(x2-2，  y2)=(

λ-1

2λ

，  y2)，所以

FM

=-λ

FQ

．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．