Question

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2

2

，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)，由已知解得a=

6

，c=2，所以橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，離心率e=

6

3

．
（2）由（1）可得A（3，0），設直線PQ的方程為y=k（x-3），由方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．依題意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根與系數的位置關系可知直線PQ的方程為x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0．

解答：（1）解：由題意，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)
由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c)

解得a=

6

，c=2
所以橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，離心率e=

6

3

（2）解：由（1）可得A（3，0），設直線PQ的方程為y=k（x-3），由方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依題意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x1+x2=

18k2

3k2+1

①x1x2=

27k2-6

3k2+1

②
由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]③
∵

OP

•

OQ

=0∴x₁x₂+y₁y₂=0④
由①②③④得5k²=1，從而k=±

5

5

∈(-

6

3

 ， 

6

3

)
所以直線PQ的方程為x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．