Question

【題目】為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對全市中小學生“體能達標”情況進行了解，決定通過隨機抽樣選擇幾個樣本校對學生進行體能達標測試，并規定測試成績低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學生不合格人數不超過其總人數的5%，則該樣本校體能達標為合格.已知某樣本校共有1000名學生，現從中隨機抽取40名學生參加體能達標測試，首先將這40名學生隨機分為甲、乙兩組，其中甲乙兩組學生人數的比為3:2，測試后，兩組各自的成績統計如下：甲組的平均成績為70，方差為16，乙組的平均成績為80，方差為36.

（1）估計該樣本校學生體能測試的平均成績；

（2）求該樣本校40名學生測試成績的標準差s；

（3）假設該樣本校體能達標測試成績服從正態分布，用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值估計該樣本校學生體能達標測試是否合格？

（注：1.本題所有數據的最后結果都精確到整數；2若隨機變量z服從正態分布，則，，）

Answer 1

【答案】（1）74；（2）.（3）可估計該樣本校學生“體能達標”測試合格.

【解析】

（1）由甲乙兩組學生人數可求得總均分；

（2）設第一組學生的測試成績分別為，第二組學生的測試成績分別為，由已知方差求得和，結合（1）可得總方差；

（3）由已知數據知，然后求出不合格的概率得不合格人數，從而得結論．

解：（1）由題知，甲、乙兩組學生數分別為24和16，

則這40名學生測試成績的平均分

故可估計該樣本校學生體能測試的平均成績為74，.

（2）由變形得

設第一組學生的測試成績分別為，

第二組學生的測試成績分別為，

則第一組的方差為

，

解得.

第二組的方差為

解得.

這40名學生的方差為

，

所以.

綜上，標準差.

（3）由，，得的估計值為，的估計值

由，

得，

即

所以.

從而，在全校1000名學生中，“不合格”的有（人）

而，

故可估計該樣本校學生“體能達標”測試合格.