Question

【題目】某商品在近30天內每件的銷售價格P元和時間t（t∈N）的關系如圖所示．

（1）請確定銷售價格P（元）和時間t（天）的函數解析式；

（2）該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的關系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求該商品的日銷售金額y（元）與時間t（天）的函數解析式；

（3）求該商品的日銷售金額y（元）的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的哪一天？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

（3）第25天，日銷售金額有最大值1125元.

【解析】

（1）根據已知中的圖象可得函數是一個分段函數，分0≤t＜25和25≤t≤30，t∈N兩種情況，利用待定系數法可分別求出兩段的解析式，最后綜合討論結果可得答案;（2）根據商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的關系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），結合（1）中銷售價格P（元）和時間t（天）的函數解析式，根據：日銷售金額=銷售價格×銷售量得到答案;（3）根據（2）中函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最大值點及最大值，可得答案．

（1）當0≤t＜25，t∈N，設P=at+b，將（0，19），（25，44）代入得 ，解之得，∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N），當25≤t≤30，t∈N，同理可得P=﹣t+100，

綜上所述：銷售價格P（元）和時間t（天）的函數解析式為 .

（2）由題意得，y=PQ，由（1）得 ,

即：.

（3）由,

當0≤t＜25，t∈N，由二次函數的圖象和性質知t=10，或t=11時，y取最大值870元

當25≤t≤30，t∈N，由二次函數的圖象和性質知t=25時，y取最大值1125元

綜上所述，在第25天，日銷售金額有最大值1125元