Question

【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設點是拋物線上的動點，若以點為圓心的圓在軸上截得的弦長均為4，求證：圓恒過定點.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得拋物線的焦點坐標為，利用點到直線距離公式得到關于實數p的方程，解方程可得拋物線的標準方程是.

(2)設圓心的坐標為，半徑為，由題意結合勾股定理有，則圓的標準方程整理變形可得，該方程對于任意的均成立，則據此可得圓過一定點為.

試題解析：

(1)由題意， ，焦點坐標為，

由點到直線的距離公式，得，

所以拋物線的標準方程是.

(2)設圓心的坐標為，半徑為，圓在軸上截得的弦長為，

所以，

圓的標準方程： ，

化簡得： ，①

對于任意的，方程①均成立，

故有： 解得： ，所以，圓過一定點為.